微分積分学準備例

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{4} + 3 x^{2}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2}$ を $x^{4} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + 3 x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} + x^{2} - 9 x - 12}{x^{2} (x^{2} + 3)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x^{2} (x^{2} + 3)$ です。

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.5

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{4} + x^{2} - 9 x - 12) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.5.2

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.1.2

$A (x^{2} + 3)$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A (x^{2} + 3) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

$x$ を $B (x^{2} (x^{2} + 3))$ で因数分解します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2.3

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2.4

式を書き換えます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x (x^{2} + 3))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.4.2.5

$B (x (x^{2} + 3))$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x (x^{2} + 3)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + x \cdot 3) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.7

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B (x^{3} + 3 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.8

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B (3 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.10

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.10.1

共通因数を約分します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

ステップ 1.6.10.2

$(C x + D) (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + (C x + D) (x^{2})$

ステップ 1.6.11

分配則を当てはめます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

ステップ 1.6.12

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.12.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

ステップ 1.6.12.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.12.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

ステップ 1.6.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

ステップ 1.6.12.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x + C x^{3} + D x^{2}$

ステップ 1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$B$ を移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2}$

ステップ 1.7.2

$3 A$ を移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B + C x^{3} + D x^{2} + 3 A$

ステップ 1.7.3

$3 x B$ を移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

ステップ 1.7.4

$A x^{2}$ を移動させます。

$x^{4} + x^{2} - 9 x - 12 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 3 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + D$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 9 = 3 B$

ステップ 2.4

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 12 = 3 A$

ステップ 2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 9 = 3 B$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 9 = 3 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $3 B = - 9$ として書き換えます。

$3 B = - 9$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.1.2

$3 B = - 9$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$3 B = - 9$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = \frac{- 9}{3}$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$- 9$ を $3$ で割ります。

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$B = - 3$

$0 = B + C$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = B + C$ の $B$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

$0 = (- 3) + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$- 12 = 3 A$

ステップ 3.2.3

方程式を $3 A = - 12$ として書き換えます。

$3 A = - 12$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.2.4

$3 A = - 12$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$3 A = - 12$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = \frac{- 12}{3}$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.3.1

$- 12$ を $3$ で割ります。

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

$A = - 4$

$0 = - 3 + C$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 3 + C = 0$ として書き換えます。

$- 3 + C = 0$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = A + D$

ステップ 3.3.3

$1 = A + D$ の $A$ のすべての発生を $- 4$ で置き換えます。

$1 = (- 4) + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

ステップ 3.3.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

括弧を削除します。

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$1 = - 4 + D$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

ステップ 3.4

$1 = - 4 + D$ の $D$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $- 4 + D = 1$ として書き換えます。

$- 4 + D = 1$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

ステップ 3.4.2

$D$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$D = 1 + 4$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

ステップ 3.4.2.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

$D = 5$

$C = 3$

$A = - 4$

$B = - 3$

ステップ 3.5

連立方程式を解きます。

$D = 5 C = 3 A = - 4 B = - 3$

ステップ 3.6

すべての解をまとめます。

$D = 5, C = 3, A = - 4, B = - 3$

ステップ 4

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

ステップ 5

$3$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{3 x + 5}{x^{2} + 3}$

微分積分学準備 例

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