微分積分学準備例

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1

筆算での多項式の割算を使って割ります。

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ステップ 1.1

$x (x^{2} + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 1.1.2

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

ステップ 1.1.6

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

ステップ 1.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 1.3

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{3}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 1.4

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

ステップ 1.5

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

ステップ 1.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

ステップ 1.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

ステップ 1.8

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

ステップ 2

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} + x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

ステップ 2.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 2.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 1)$ です。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.5

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.5.2

$2 x^{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6.1.2

$A (x^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.6.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

ステップ 2.6.5

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

ステップ 2.6.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.6.6.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 2.6.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

ステップ 2.7

$A$ を移動させます。

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

ステップ 3

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 3.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A + B$

ステップ 3.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 3.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 3.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

ステップ 4

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

ステップ 4.2

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

ステップ 4.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.1

$2 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

括弧を削除します。

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.4

$2 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

方程式を $1 + B = 2$ として書き換えます。

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.4.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.5

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = 1 C = 0$

ステップ 4.6

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = 1, C = 0$

ステップ 5

$x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

括弧を削除します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 6.2

$(1) \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

ステップ 6.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

微分積分学準備 例

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