微分積分学準備例

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ です。

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.4

${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 1.4.2

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.5.1.2

$A x + B$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.5.2

${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ と $x^{2} - 2 x + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$x^{2} - 2 x + 3$ を $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

ステップ 1.5.2.2.4

$(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ を $1$ で割ります。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

ステップ 1.5.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ を展開します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.4

$3$ を $C x$ の左に移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

ステップ 1.5.4.6

$3$ を $D$ の左に移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

ステップ 1.6

式を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$B$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

ステップ 1.6.2

$3 C x$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

ステップ 1.6.3

$A x$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x^{3}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 4 = - 2 C + D$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$9 = A + 3 C - 2 D$

ステップ 2.4

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 2.5

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $C = 1$ として書き換えます。

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4 = - 2 C + D$ の $C$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.2.3

$9 = A + 3 C - 2 D$ の $C$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$3$ に $1$ をかけます。

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.3

$- 4 = - 2 + D$ の $D$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 2 + D = - 4$ として書き換えます。

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.3.2

$D$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.3.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.4

各方程式の $D$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$9 = A + 3 - 2 D$ の $D$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$A + 3 - 2 \cdot - 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ と $4$ をたし算します。

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

ステップ 3.4.3

$- 5 = B + 3 D$ の $D$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.4.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.5

$- 5 = B - 6$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $B - 6 = - 5$ として書き換えます。

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.5.2.2

$- 5$ と $6$ をたし算します。

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.6

各方程式の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $A + 7 = 9$ として書き換えます。

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.6.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.6.2.2

$9$ から $7$ を引きます。

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

ステップ 4

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

ステップ 5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

微分積分学準備 例

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