微分積分学準備例

$\frac{x}{x^{2} + 13 x + 36}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 13 x + 36$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $36$ で、その和が $13$ です。

$4, 9$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x}{(x + 4) (x + 9)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 4}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 9}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 4) (x + 9)$ です。

$\frac{x (x + 4) (x + 9)}{(x + 4) (x + 9)} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.5

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 4) (x + 9)}{(x + 4) (x + 9)} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 9)}{x + 9} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.6

$x + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 9)}{x + 9} = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A (x + 4) (x + 9)}{x + 4} + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x + 9)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (x + 9) + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x = A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7.3

$9$ を $A$ の左に移動させます。

$x = A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7.4

$x + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x = A x + 9 A + \frac{(B) (x + 4) (x + 9)}{x + 9}$

ステップ 1.7.4.2

$(B) (x + 4)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + 9 A + (B) (x + 4)$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$x = A x + 9 A + B x + B \cdot 4$

ステップ 1.7.6

$4$ を $B$ の左に移動させます。

$x = A x + 9 A + B x + 4 B$

ステップ 1.8

$9 A$ を移動させます。

$x = A x + B x + 9 A + 4 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 9 A + 4 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 9 A + 4 B$

$1 = A + B$

$0 = 9 A + 4 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 9 A + 4 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 9 A + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 A + 4 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 9 A + 4 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 9 (1 - B) + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$9 (1 - B) + 4 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 9 \cdot 1 + 9 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$0 = 9 + 9 (- B) + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$0 = 9 - 9 B + 4 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 9 B + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 9 B$ と $4 B$ をたし算します。

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 9 - 5 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$0 = 9 - 5 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $9 - 5 B = 0$ として書き換えます。

$9 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- 5 B = - 9$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 5 B = - 9$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 5 B = - 9$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 9}{- 5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{9}{5}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{9}{5}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{9}{5}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{9}{5})$

$B = \frac{9}{5}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (\frac{9}{5})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

ステップ 3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{5 - 9}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

ステップ 3.4.2.1.3

$5$ から $9$ を引きます。

$A = \frac{- 4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

ステップ 3.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$B = \frac{9}{5}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{4}{5}, B = \frac{9}{5}$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x + 9}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{4}{5}}{x + 4} + \frac{\frac{9}{5}}{x + 9}$

微分積分学準備 例

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