微分積分学準備例

$\frac{8}{x (1 - x)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

ステップ 1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (1 - x)$ です。

$\frac{8 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{8 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.4

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.4.2

$8$ を $1$ で割ります。

$8 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$8 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.1.2

$A (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$8 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$8 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$8 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.5.1

共通因数を約分します。

$8 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.5.5.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$8 = A - A x + (B) (x)$

$8 = A - A x + B x$

ステップ 1.6

式を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$A$ を移動させます。

$8 = A - x A + B x$

ステップ 1.6.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$8 = A - x A + B x$

ステップ 1.6.3

$A$ を移動させます。

$8 = - x A + B x + A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$8 = A$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$8 = A$

$0 = - 1 A + B$

$8 = A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $A = 8$ として書き換えます。

$A = 8$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $8$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $8$ で置き換えます。

$0 = - 1 \cdot 8 + B$

$A = 8$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

ステップ 3.3

$0 = - 8 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $- 8 + B = 0$ として書き換えます。

$- 8 + B = 0$

$A = 8$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$B = 8$

$A = 8$

$B = 8$

$A = 8$

ステップ 3.4

連立方程式を解きます。

$B = 8 A = 8$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$B = 8, A = 8$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{8}{x} + \frac{8}{1 - x}$

微分積分学準備 例

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