微分積分学準備例

$\frac{(13 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ です。

$\frac{(13 x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.4

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(13 x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(13 x + 2) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.5

$x^{2} + x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(13 x + 2) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.5.2

$13 x + 2$ を $1$ で割ります。

$13 x + 2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$13 x + 2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$(A) (x^{2} + x + 1)$ を $1$ で割ります。

$13 x + 2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6.4

$x^{2} + x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1.6.4.2

$(B x + C) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

ステップ 1.6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.1

分配則を当てはめます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

ステップ 1.6.5.2

分配則を当てはめます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

ステップ 1.6.5.3

分配則を当てはめます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 1.6.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.6.1.1

$x$ を移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 1.6.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

ステップ 1.6.6.2

$- 1$ を $B x$ の左に移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

ステップ 1.6.6.3

$- 1 (B x)$ を $- (B x)$ に書き換えます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

ステップ 1.6.6.4

$- 1$ を $C$ の左に移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

ステップ 1.6.6.5

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

ステップ 1.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

ステップ 1.7.2

$B$ を移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

ステップ 1.7.3

$A$ を移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

ステップ 1.7.4

$A x$ を移動させます。

$13 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$13 = A - 1 B + C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = A - 1 C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$13 = A - 1 B + C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$13 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$(- B) - 1 B + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$13 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3.2.2.1.2

$- B$ から $B$ を引きます。

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

ステップ 3.2.3

$2 = A - 1 C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$2 = (- B) - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 1 C$ を $- C$ に書き換えます。

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

ステップ 3.3

$13 = - 2 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 2 B + C = 13$ として書き換えます。

$- 2 B + C = 13$

$2 = - B - C$

$A = - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $2 B$ を足します。

$C = 13 + 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 13 + 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $13 + 2 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 = - B - C$ の $C$ のすべての発生を $13 + 2 B$ で置き換えます。

$2 = - B - (13 + 2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- B - (13 + 2 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 = - B - 1 \cdot 13 - (2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$- 1$ に $13$ をかけます。

$2 = - B - 13 - (2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 = - B - 13 - 2 B$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - B - 13 - 2 B$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2.1.2

$- B$ から $2 B$ を引きます。

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5

$2 = - 3 B - 13$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $- 3 B - 13 = 2$ として書き換えます。

$- 3 B - 13 = 2$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $13$ を足します。

$- 3 B = 2 + 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2.2

$2$ と $13$ をたし算します。

$- 3 B = 15$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 15$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3

$- 3 B = 15$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$- 3 B = 15$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$15$ を $- 3$ で割ります。

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

ステップ 3.6

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 5$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$C = 13 + 2 B$ の $B$ のすべての発生を $- 5$ で置き換えます。

$C = 13 + 2 (- 5)$

$B = - 5$

$A = - B$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$13 + 2 (- 5)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$C = 13 - 10$

$B = - 5$

$A = - B$

ステップ 3.6.2.1.2

$13$ から $10$ を引きます。

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

ステップ 3.6.3

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- 5$ で置き換えます。

$A = - (- 5)$

$C = 3$

$B = - 5$

ステップ 3.6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = 5, C = 3, B = - 5$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{5}{x - 1} + \frac{- 5 x + 3}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 5

$- 5$ に $x$ をかけます。

$\frac{5}{x - 1} + \frac{- 5 x + 3}{x^{2} + x + 1}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例