微分積分学準備例

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$10$ を $10 x + 20$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$10$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

ステップ 1.1.1.2

$10$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

ステップ 1.1.1.3

$10$ を $10 x + 10 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 1.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

ステップ 1.1.5

因数分解。

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ステップ 1.1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

ステップ 1.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6

指数をまとめます。

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ステップ 1.1.6.1

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

ステップ 1.1.6.2

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

ステップ 1.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

ステップ 1.1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 1.1.7

今日数因数で約分することで式 $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ を約分します。

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ステップ 1.1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 1.1.7.2

式を書き換えます。

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x - 2)}^{2}$ です。

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 1.5

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 1.5.2

$10$ を $1$ で割ります。

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 1.6.2

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$x - 2$ を $(B) {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

ステップ 1.6.2.2.4

$B (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$10 = A + B (x - 2)$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

ステップ 1.6.4

$- 2$ を $B$ の左に移動させます。

$10 = A + B x - 2 B$

ステップ 1.7

$A$ と $B x$ を並べ替えます。

$10 = B x + A - 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$10 = A - 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $B = 0$ として書き換えます。

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$10 = A - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$A - 2 \cdot 0$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$10 = A + 0$

$B = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

$A$ と $0$ をたし算します。

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

ステップ 3.3

方程式を $A = 10$ として書き換えます。

$A = 10$

$B = 0$

ステップ 3.4

連立方程式を解きます。

$A = 10 B = 0$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = 10, B = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$

微分積分学準備 例

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