微分積分学準備例

$\frac{27 - 4 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 9 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 9 x}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ で因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9}$

ステップ 1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 9)}$

ステップ 1.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

ステップ 1.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

ステップ 1.1.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{27 - 4 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x {(x - 3)}^{2}$ です。

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(27 - 4 x) ({(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.6

${(x - 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(27 - 4 x) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.6.2

$27 - 4 x$ を $1$ で割ります。

$27 - 4 x = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.7

$27$ と $- 4 x$ を並べ替えます。

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

共通因数を約分します。

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.1.2

$A ({(x - 3)}^{2})$ を $1$ で割ります。

$- 4 x + 27 = A ({(x - 3)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.2

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$- 4 x + 27 = A ((x - 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.3.2

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.3.3

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- 4 x + 27 = A (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.4.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.4.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.4.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 6 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.5

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} + A (- 6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.6.2

$9$ を $A$ の左に移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.7

${(x - 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.7.1

共通因数を約分します。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{B (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.7.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

ステップ 1.8.8

${(x - 3)}^{2}$ と $x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.8.1

$x - 3$ を $(C) (x {(x - 3)}^{2})$ で因数分解します。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{x - 3}$

ステップ 1.8.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.8.2.1

$1$ を掛けます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

ステップ 1.8.8.2.2

共通因数を約分します。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

ステップ 1.8.8.2.3

式を書き換えます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{C (x (x - 3))}{1}$

ステップ 1.8.8.2.4

$C (x (x - 3))$ を $1$ で割ります。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x (x - 3))$

ステップ 1.8.9

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

ステップ 1.8.10

$x$ に $x$ をかけます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

ステップ 1.8.11

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

ステップ 1.8.12

分配則を当てはめます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

ステップ 1.8.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$A$ を移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9.3

$9 A$ を移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + B x + C x^{2} - 3 C x + 9 A$

ステップ 1.9.4

$B x$ を移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + C x^{2} + B x - 3 C x + 9 A$

ステップ 1.9.5

$- 6 x A$ を移動させます。

$- 4 x + 27 = A x^{2} + C x^{2} - 6 x A + B x - 3 C x + 9 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$27 = 9 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$27 = 9 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $9 A = 27$ として書き換えます。

$9 A = 27$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2

$9 A = 27$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$9 A = 27$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$27$ を $9$ で割ります。

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = A + C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

ステップ 3.2.3

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$ の $A$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$- 4 = - 6 \cdot 3 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

ステップ 3.3

$0 = 3 + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $3 + C = 0$ として書き換えます。

$3 + C = 0$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 4 = - 18 + B - 3 C$ の $C$ のすべての発生を $- 3$ で置き換えます。

$- 4 = - 18 + B - 3 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 18 + B - 3 \cdot - 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 4 = - 18 + B + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 18$ と $9$ をたし算します。

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5

$- 4 = B - 9$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $B - 9 = - 4$ として書き換えます。

$B - 9 = - 4$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$B = - 4 + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.5.2.2

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$B = 5 C = - 3 A = 3$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$B = 5, C = - 3, A = 3$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 3}$

微分積分学準備 例

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