微分積分学準備例

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 x + 7}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 6 \cdot 7 = - 42$ で和が $b = - 11$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 11$ を $- 11 x$ で因数分解します。

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 (x) + 7}$

ステップ 1.1.1.2

$- 11$ を $3$ プラス $- 14$ に書き換える

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + (3 - 14) x + 7}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + 3 x - 14 x + 7}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{41 x - 37}{(- 6 x^{2} + 3 x) - 14 x + 7}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{41 x - 37}{3 x (- 2 x + 1) + 7 (- 2 x + 1)}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $- 2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{41 x - 37}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{- 2 x + 1}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(- 2 x + 1) (3 x + 7)$ です。

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.5

$- 2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.6

$3 x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.6.2

$41 x - 37$ を $1$ で割ります。

$41 x - 37 = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$41 x - 37 = \frac{A (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (3 x + 7)$ を $1$ で割ります。

$41 x - 37 = (A) (3 x + 7) + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$41 x - 37 = A (3 x) + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$41 x - 37 = 3 A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.4

$7$ を $A$ の左に移動させます。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.5

$3 x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.5.1

共通因数を約分します。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

ステップ 1.7.5.2

$(B) (- 2 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + (B) (- 2 x + 1)$

ステップ 1.7.6

分配則を当てはめます。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + B (- 2 x) + B \cdot 1$

ステップ 1.7.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B \cdot 1$

ステップ 1.7.8

$B$ に $1$ をかけます。

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B$

ステップ 1.8

並べ替えます。

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ステップ 1.8.1

$A$ を移動させます。

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 B x + B$

ステップ 1.8.2

$B$ を移動させます。

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 x B + B$

ステップ 1.8.3

$7 A$ を移動させます。

$41 x - 37 = 3 x A - 2 x B + 7 A + B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$41 = 3 A - 2 B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 37 = 7 A + B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$- 37 = 7 A + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $7 A + B = - 37$ として書き換えます。

$7 A + B = - 37$

$41 = 3 A - 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $7 A$ を引きます。

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 37 - 7 A$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$41 = 3 A - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $- 37 - 7 A$ で置き換えます。

$41 = 3 A - 2 (- 37 - 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 A - 2 (- 37 - 7 A)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$41 = 3 A - 2 \cdot - 37 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $- 37$ をかけます。

$41 = 3 A + 74 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 7$ に $- 2$ をかけます。

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.2.2.1.2

$3 A$ と $14 A$ をたし算します。

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3

$41 = 17 A + 74$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $17 A + 74 = 41$ として書き換えます。

$17 A + 74 = 41$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $74$ を引きます。

$17 A = 41 - 74$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.2.2

$41$ から $74$ を引きます。

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.3

$17 A = - 33$ の各項を $17$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$17 A = - 33$ の各項を $17$ で割ります。

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$17$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

ステップ 3.4

各方程式の $A$ のすべての発生を $- \frac{33}{17}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$B = - 37 - 7 A$ の $A$ のすべての発生を $- \frac{33}{17}$ で置き換えます。

$B = - 37 - 7 (- \frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 37 - 7 (- \frac{33}{17})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- 7 (- \frac{33}{17})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$B = - 37 + 7 (\frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$7$ と $\frac{33}{17}$ をまとめます。

$B = - 37 + \frac{7 \cdot 33}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$7$ に $33$ をかけます。

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 37$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{17}{17}$ を掛けます。

$B = - 37 \cdot \frac{17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.3

$- 37$ と $\frac{17}{17}$ をまとめます。

$B = \frac{- 37 \cdot 17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{- 37 \cdot 17 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.5.1

$- 37$ に $17$ をかけます。

$B = \frac{- 629 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.5.2

$- 629$ と $231$ をたし算します。

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.4.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{398}{17}, A = - \frac{33}{17}$

ステップ 4

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{33}{17}}{- 2 x + 1} + \frac{- \frac{398}{17}}{3 x + 7}$

微分積分学準備 例

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