微分積分学準備例

$\frac{4}{3 x (5 x + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$

ステップ 1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $3 x (5 x + 1)$ です。

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.5

$5 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.5.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$A (3 (5 x + 1))$ を $1$ で割ります。

$4 = A (3 (5 x + 1)) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 = 3 A (5 x + 1) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$4 = 3 A (5 x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.5

$3$ に $1$ をかけます。

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.6

$3$ に $5$ をかけます。

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.7

$5 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.7.1

共通因数を約分します。

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{B (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

ステップ 1.6.7.2

$(B) (3 x)$ を $1$ で割ります。

$4 = 15 A x + 3 A + (B) (3 x)$

ステップ 1.6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 = 15 A x + 3 A + 3 B x$

ステップ 1.7

並べ替えます。

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ステップ 1.7.1

$A$ を移動させます。

$4 = 15 x A + 3 A + 3 B x$

ステップ 1.7.2

$B$ を移動させます。

$4 = 15 x A + 3 A + 3 x B$

ステップ 1.7.3

$3 A$ を移動させます。

$4 = 15 x A + 3 x B + 3 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 15 A + 3 B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = 3 A$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$4 = 3 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $3 A = 4$ として書き換えます。

$3 A = 4$

$0 = 15 A + 3 B$

ステップ 3.1.2

$3 A = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$3 A = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{4}{3}$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 15 A + 3 B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{4}{3}$ で置き換えます。

$0 = 15 (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$0 = 3 (5) (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$0 = 3 \cdot (5 (\frac{4}{3})) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$5$ に $4$ をかけます。

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3

$0 = 20 + 3 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $20 + 3 B = 0$ として書き換えます。

$20 + 3 B = 0$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$3 B = - 20$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3

$3 B = - 20$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3 B = - 20$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.4

連立方程式を解きます。

$B = - \frac{20}{3} A = \frac{4}{3}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{20}{3}, A = \frac{4}{3}$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{4}{3}}{x} + \frac{- \frac{20}{3}}{5 x + 1}$

微分積分学準備 例

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