微分積分学準備例

$7 \sin (x) - 6$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 7 \sin (y) - 6$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $7 \sin (y) - 6 = x$ として書き換えます。

$7 \sin (y) - 6 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$7 \sin (y) = x + 6$

ステップ 2.3

$7 \sin (y) = x + 6$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$7 \sin (y) = x + 6$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 \sin (y)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{6}{7}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \sin (y)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{6}{7}$

ステップ 2.3.2.1.2

$\sin (y)$ を $1$ で割ります。

$\sin (y) = \frac{x}{7} + \frac{6}{7}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})$ が $f (x) = 7 \sin (x) - 6$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (7 \sin (x) - 6)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\frac{7 \sin (x) - 6}{7} + \frac{6}{7})$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\frac{7 \sin (x) - 6 + 6}{7})$

ステップ 4.2.4

$7 \sin (x) - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\frac{7 \sin (x) + 0}{7})$

ステップ 4.2.4.2

$7 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\frac{7 \sin (x)}{7})$

ステップ 4.2.5

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\frac{7 \sin (x)}{7})$

ステップ 4.2.5.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (7 \sin (x) - 6) = \arcsin (\sin (x))$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7}))$ の値を求めます。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = 7 \sin (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) - 6$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = 7 (\frac{x}{7} + \frac{6}{7}) - 6$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (\frac{6}{7}) - 6$

ステップ 4.3.3.3

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (\frac{6}{7}) - 6$

ステップ 4.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = x + 7 (\frac{6}{7}) - 6$

ステップ 4.3.3.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = x + 7 (\frac{6}{7}) - 6$

ステップ 4.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = x + 6 - 6$

ステップ 4.3.4

$x + 6 - 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$6$ から $6$ を引きます。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})$ は $f (x) = 7 \sin (x) - 6$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{7} + \frac{6}{7})$

微分積分学準備 例

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