微分積分学準備例

$- 2 x^{2} - 1$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = - 2 y^{2} - 1$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $- 2 y^{2} - 1 = x$ として書き換えます。

$- 2 y^{2} - 1 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 y^{2} = x + 1$

ステップ 2.3

$- 2 y^{2} = x + 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 y^{2} = x + 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{- 2}$

ステップ 2.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ を $- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $- \frac{x}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ を $- \frac{1}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.1.3

$- 1$ を $- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}$

ステップ 2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ が $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 1]$

ステップ 4.3

$\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.2.1

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- \frac{x + 1}{2}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{x + 1}{2}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$\frac{x + 1}{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x + 1}{2} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{x + 1}{2} \leq 0$

ステップ 4.3.2.2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

ステップ 4.3.2.3

簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

ステップ 4.3.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x + 1 \leq 0 \cdot 2$

ステップ 4.3.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.3.2.1

$0$ に $2$ をかけます。

$x + 1 \leq 0$

ステップ 4.3.2.4

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \leq - 1$

ステップ 4.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1]$

ステップ 4.4

$f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ の定義域が $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ の範囲が $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ は $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

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