微分積分学準備例

$(3 \sqrt{3}, 9)$

ステップ 1

変換式を使って直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, θ)$ に交換します。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 2

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3

極座標表の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

式を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.2.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{9 \cdot 3 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{27 + {(9)}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{27 + 81}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.3.3

$27$ と $81$ をたし算します。

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{108}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$r = \sqrt{36 (3)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.4.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

ステップ 4

$x$ と $y$ を実数で置き換えます。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{9}{3 \sqrt{3}})$

ステップ 5

$\sqrt{3}$ の逆正切は $θ = 60 °$ です。

$r = 6 \sqrt{3}$

$θ = 60 °$

ステップ 6

$(r, θ)$ 形式で極座標に変換した結果です。

$(6 \sqrt{3}, 60 °)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$