微分積分学準備例

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 5 x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} + 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 3$ で置き換えます。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

ステップ 2

総和則では、 $5 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 3.3

$2$ に $5$ をかけます。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

ステップ 4.2

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$10$ に $4$ をかけます。

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

ステップ 5.2

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ の因数を並べ替えます。

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$

微分積分学準備 例