微分積分学準備例

${(r^{2} - s)}^{4}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r^{2})}^{4 - k} \cdot {(- s)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- s)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- s)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- s)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- s)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(r^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(r^{2})}^{4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(r^{2})}^{4}$ に $1$ をかけます。

${(r^{2})}^{4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.2

${(r^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r^{2 \cdot 4} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$r^{8} \cdot {(- s)}^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.3

積の法則を $- s$ に当てはめます。

$r^{8} \cdot ({(- 1)}^{0} s^{0}) + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${(- 1)}^{0} r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.6

$r^{8}$ に $1$ をかけます。

$r^{8} s^{0} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$r^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.8

$r^{8}$ に $1$ をかけます。

$r^{8} + 4 \cdot {(r^{2})}^{3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.9

${(r^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r^{8} + 4 \cdot r^{2 \cdot 3} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.9.2

$2$ に $3$ をかけます。

$r^{8} + 4 \cdot r^{6} \cdot {(- s)}^{1} + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.10

簡約します。

$r^{8} + 4 r^{6} \cdot (- s) + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$r^{8} + 4 \cdot - 1 r^{6} s + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.12

$4$ に $- 1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot {(r^{2})}^{2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.13

${(r^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.13.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot r^{2 \cdot 2} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot r^{4} \cdot {(- s)}^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.14

積の法則を $- s$ に当てはめます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} \cdot ({(- 1)}^{2} s^{2}) + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.15

積の可換性を利用して書き換えます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot {(- 1)}^{2} r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.16

$- 1$ を $2$ 乗します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 \cdot 1 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.17

$6$ に $1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(r^{2})}^{1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.18

${(r^{2})}^{1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.18.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot r^{2 \cdot 1} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.18.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot r^{2} \cdot {(- s)}^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.19

積の法則を $- s$ に当てはめます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 r^{2} \cdot ({(- 1)}^{3} s^{3}) + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.20

積の可換性を利用して書き換えます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.21

$- 1$ を $3$ 乗します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} + 4 \cdot - 1 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.22

$4$ に $- 1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.23

${(r^{2})}^{0}$ に $1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(r^{2})}^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.24

${(r^{2})}^{0}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.24.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + r^{2 \cdot 0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.24.2

$2$ に $0$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + r^{0} \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.25

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 \cdot {(- s)}^{4}$

ステップ 4.26

${(- s)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(- s)}^{4}$

ステップ 4.27

積の法則を $- s$ に当てはめます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + {(- 1)}^{4} s^{4}$

ステップ 4.28

$- 1$ を $4$ 乗します。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + 1 s^{4}$

ステップ 4.29

$s^{4}$ に $1$ をかけます。

$r^{8} - 4 r^{6} s + 6 r^{4} s^{2} - 4 r^{2} s^{3} + s^{4}$

微分積分学準備 例

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