微分積分学準備例

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = u$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 4)}^{2} = 0$

${(u - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 2.5

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.6

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.6.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.6.2

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

$x = \pm 2$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

$x = 2, - 2$

$x = 2, - 2$

$x = 2, - 2$

ステップ 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$