微分積分学準備例

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2$

ステップ 1

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} + 5 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

ステップ 2.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 + 5 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

ステップ 2.1.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

ステップ 2.1.3.4

$5$ に $4$ をかけます。

$- 8 + 20 + 7 \cdot - 2 + 2$

ステップ 2.1.3.5

$- 8$ と $20$ をたし算します。

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

ステップ 2.1.3.6

$7$ に $- 2$ をかけます。

$12 - 14 + 2$

ステップ 2.1.3.7

$12$ から $14$ を引きます。

$- 2 + 2$

ステップ 2.1.3.8

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2}{x + 2}$

ステップ 2.1.5

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$2$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$	+	$2$
							+	$x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$7 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 2.1.6

$x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 2) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x^{2} + 3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + 3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$9$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.5

最終解は $(x + 2) (x^{2} + 3 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 2, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

10進法形式：

$x = - 2, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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