微分積分学準備例

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

ステップ 1

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ が $0$ に等しいとします。

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

ステップ 2.1.1.3

$- 0.75$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.75$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$- 0.75$ を多項式に代入します。

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.2

$- 0.75$ を $4$ 乗します。

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.3

$256$ に $0.31640625$ をかけます。

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.4

$- 0.75$ を $3$ 乗します。

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.5

$768$ に $- 0.421875$ をかけます。

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.6

$81$ から $324$ を引きます。

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.7

$- 0.75$ を $2$ 乗します。

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.8

$864$ に $0.5625$ をかけます。

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.9

$- 243$ と $486$ をたし算します。

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

ステップ 2.1.1.3.10

$432$ に $- 0.75$ をかけます。

$243 - 324 + 81$

ステップ 2.1.1.3.11

$243$ から $324$ を引きます。

$- 81 + 81$

ステップ 2.1.1.3.12

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$- 0.75$ は既知の根なので、多項式を $4 x + 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

ステップ 2.1.1.5

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ を $4 x + 3$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $256 x^{4}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $256 x^{4} + 192 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $576 x^{3}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $576 x^{3} + 432 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $432 x^{2}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $432 x^{2} + 324 x$ の符号をすべて変更します。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

ステップ 2.1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.17

被除数 $108 x$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $108 x + 81$ の符号をすべて変更します。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

ステップ 2.1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

ステップ 2.1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

ステップ 2.1.1.6

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ を因数の集合として書き換えます。

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

ステップ 2.1.2

項を再分類します。

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.3

$64 x^{3}$ を ${(4 x)}^{3}$ に書き換えます。

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.4

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.5

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 x$ であり、 $b = 3$ です。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.6

簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.6.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.6.4

$3$ に $- 4$ をかけます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.6.5

$3$ を $2$ 乗します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.7

$36 x$ を $144 x^{2} + 108 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$36 x$ を $144 x^{2}$ で因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$36 x$ を $108 x$ で因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

ステップ 2.1.7.3

$36 x$ を $36 x (4 x) + 36 x (3)$ で因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

ステップ 2.1.8

$4 x + 3$ を $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1

$4 x + 3$ を $36 x (4 x + 3)$ で因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

ステップ 2.1.8.2

$4 x + 3$ を $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ で因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

ステップ 2.1.9

$- 12 x$ と $36 x$ をたし算します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

ステップ 2.1.10

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.10.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.10.1.1

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

ステップ 2.1.10.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.1.10.1.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

ステップ 2.1.10.1.4

多項式を書き換えます。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

ステップ 2.1.10.1.5

$a = 4 x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11

同類因数をまとめます

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ステップ 2.1.11.1

$4 x + 3$ を $1$ 乗します。

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11.2

$4 x + 3$ を $1$ 乗します。

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.11.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

ステップ 2.1.11.6

$2$ と $2$ をたし算します。

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 2.2

$4 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x + 3 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 x = - 3$

ステップ 2.3.2

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$4 x = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{4}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{4}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例