微分積分学準備例

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

ステップ 1

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 7 x$ を $- 28 x^{3} + 7 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 7 x$ を $- 28 x^{3}$ で因数分解します。

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 7 x$ を $7 x$ で因数分解します。

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 7 x$ を $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.3

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.6

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 2.1.7

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

ステップ 2.1.8

群による因数分解。

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ステップ 2.1.8.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ で和が $b = 47$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.8.1.1

$47$ を $47 u$ で因数分解します。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

ステップ 2.1.8.1.2

$47$ を $- 1$ プラス $48$ に書き換える

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

ステップ 2.1.8.1.3

分配則を当てはめます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

ステップ 2.1.8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.8.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

ステップ 2.1.8.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.8.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

ステップ 2.1.9

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.10

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.12

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.13

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ で因数分解します。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$(2 x + 1) (2 x - 1)$ を $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.14

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

ステップ 2.1.15

たすき掛けを利用して $- 7 u + u^{2} + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.15.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 2.1.15.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

ステップ 2.1.16

因数分解。

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ステップ 2.1.16.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.16.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

ステップ 3

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