微分積分学準備例

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$

ステップ 1

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 2.2

$3 x^{2} - 13 x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

$3 x^{2} - 13 x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ について $3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$- 13$ を $- 13 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$- 13$ を $2$ プラス $- 15$ に書き換える

$3 x^{2} + (2 - 15) x - 10 = 0$

ステップ 2.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + 2 x) - 15 x - 10 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 2) (x - 5) = 0$

ステップ 2.2.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.3.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.2.2.3.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.2.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 2.2.2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.2.2.5

最終解は $(3 x + 2) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 5$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

最終解は $(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 5, - 2$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 5) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - \frac{2}{3}, - 2, 5}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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