微分積分学準備例

$\frac{(\sqrt{x^{2} - 16})}{(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1})}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} - 16}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 16 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} \geq 16$

ステップ 2.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

ステップ 2.3

方程式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq \sqrt{16}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \geq | 4 |$

ステップ 2.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$| x | \geq 4$

ステップ 2.4

$| x | \geq 4$ を区分で書きます。

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ステップ 2.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \geq 4$

ステップ 2.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \geq 4$

ステップ 2.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.5

$x \geq 4$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x \geq 4$

ステップ 2.6

$- x \geq 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- x \geq 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{4}{- 1}$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$4$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq - 4$

ステップ 2.7

解の和集合を求めます。

$x \leq - 4$ または $x \geq 4$

ステップ 3

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 5

$\frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

ステップ 8

微分積分学準備 例

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