微分積分学準備例

$\sec (\arcsin (x))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arcsin (x))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 4.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 4.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

ステップ 4.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

ステップ 4.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例