微分積分学準備例

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

ステップ 1

角の差の公式を当てはめます。

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.2

交点 $(1, v)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\tan^{-1} (v)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, v)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\tan^{-1} (v))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ です。

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ をかけます。

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ をかけます。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.2

$\sqrt{1 + v^{2}}$ を $1$ 乗します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.3

$\sqrt{1 + v^{2}}$ を $1$ 乗します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6

${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ を $1 + v^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + v^{2}}$ を ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4.6.5

簡約します。

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.5

$u$ と $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.6

交点 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\sin^{-1} (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\sin^{-1} (u))$ は $\sqrt{1 - u^{2}}$ です。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

ステップ 2.1.9

交点 $(1, v)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\tan^{-1} (v)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, v)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\tan^{-1} (v))$ は $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ です。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

ステップ 2.1.10

$\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

ステップ 2.1.11

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

$\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

ステップ 2.1.11.2

$\sqrt{1 + v^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

ステップ 2.1.11.3

$\sqrt{1 + v^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

ステップ 2.1.11.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.1.11.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.1.11.6

${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ を $1 + v^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + v^{2}}$ を ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.11.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.11.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.11.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

ステップ 2.1.11.6.5

簡約します。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

ステップ 2.1.12

$- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1

$\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ と $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

ステップ 2.1.12.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例