微分積分学準備例

$4 x^{2} - 32 x + 3 y^{2} - 18 y = - 55$

ステップ 1

$4 x^{2} - 32 x$ の平方完成。

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ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$- 32$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$2$ を $- 32$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

ステップ 1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 16}{4}$

ステップ 1.3.2.2

$- 16$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

ステップ 1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

ステップ 1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.3.2.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$- 32$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

ステップ 1.4.2.1.3

$1024$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 1.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x - 4)}^{2} - 64$ に代入します。

$4 {(x - 4)}^{2} - 64$

ステップ 2

$4 {(x - 4)}^{2} - 64$ を方程式 $4 x^{2} - 32 x + 3 y^{2} - 18 y = - 55$ の中の $4 x^{2} - 32 x$ に代入します。

$4 {(x - 4)}^{2} - 64 + 3 y^{2} - 18 y = - 55$

ステップ 3

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - 4)}^{2} + 3 y^{2} - 18 y = - 55 + 64$

ステップ 4

$3 y^{2} - 18 y$ の平方完成。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 18$

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (3)}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 9}{3}$

ステップ 4.3.2.2

$- 9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3 (1)}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 4.3.2.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$- 18$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 3}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{324}{12}$

ステップ 4.4.2.1.3

$324$ を $12$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 27$

ステップ 4.4.2.1.4

$- 1$ に $27$ をかけます。

$e = 0 - 27$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $27$ を引きます。

$e = - 27$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y - 3)}^{2} - 27$ に代入します。

$3 {(y - 3)}^{2} - 27$

ステップ 5

$3 {(y - 3)}^{2} - 27$ を方程式 $4 x^{2} - 32 x + 3 y^{2} - 18 y = - 55$ の中の $3 y^{2} - 18 y$ に代入します。

$4 {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 3)}^{2} - 27 = - 55 + 64$

ステップ 6

両辺に $27$ を加えて、 $- 27$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 3)}^{2} = - 55 + 64 + 27$

ステップ 7

$- 55 + 64 + 27$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 55$ と $64$ をたし算します。

$4 {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 3)}^{2} = 9 + 27$

ステップ 7.2

$9$ と $27$ をたし算します。

$4 {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 3)}^{2} = 36$

ステップ 8

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(x - 4)}^{2}}{36} + \frac{3 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{12} = 1$

微分積分学準備 例

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