微分積分学準備例

$81 x^{2} - y^{2} - 648 x - 8 y + 1289 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $1289$ を引きます。

$81 x^{2} - y^{2} - 648 x - 8 y = - 1289$

ステップ 2

$81 x^{2} - 648 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 81$

$b = - 648$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 648}{2 \cdot 81}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 648$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 648$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 324}{2 \cdot 81}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 81$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 324}{2 (81)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 324}{2 \cdot 81}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 324}{81}$

ステップ 2.3.2.2

$- 324$ と $81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$81$ を $- 324$ で因数分解します。

$d = \frac{81 \cdot - 4}{81}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$81$ を $81$ で因数分解します。

$d = \frac{81 \cdot - 4}{81 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{81 \cdot - 4}{81 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 648)}^{2}}{4 \cdot 81}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 648$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{419904}{4 \cdot 81}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $81$ をかけます。

$e = 0 - \frac{419904}{324}$

ステップ 2.4.2.1.3

$419904$ を $324$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 1296$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $1296$ をかけます。

$e = 0 - 1296$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $1296$ を引きます。

$e = - 1296$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $81 {(x - 4)}^{2} - 1296$ に代入します。

$81 {(x - 4)}^{2} - 1296$

ステップ 3

$81 {(x - 4)}^{2} - 1296$ を方程式 $81 x^{2} - y^{2} - 648 x - 8 y = - 1289$ の中の $81 x^{2} - 648 x$ に代入します。

$81 {(x - 4)}^{2} - 1296 - y^{2} - 8 y = - 1289$

ステップ 4

両辺に $1296$ を加えて、 $- 1296$ を方程式の右辺に移動させます。

$81 {(x - 4)}^{2} - y^{2} - 8 y = - 1289 + 1296$

ステップ 5

$- y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\frac{- 4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 4$

ステップ 5.3.2.2

$- 1 \cdot - 4$ を $- - 4$ に書き換えます。

$d = - - 4$

ステップ 5.3.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$d = 4$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

ステップ 5.4.2.1.3

$64$ を $- 4$ で割ります。

$e = 0 - - 16$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$e = 0 + 16$

ステップ 5.4.2.2

$0$ と $16$ をたし算します。

$e = 16$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(y + 4)}^{2} + 16$ に代入します。

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

ステップ 6

$- {(y + 4)}^{2} + 16$ を方程式 $81 x^{2} - y^{2} - 648 x - 8 y = - 1289$ の中の $- y^{2} - 8 y$ に代入します。

$81 {(x - 4)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = - 1289 + 1296$

ステップ 7

両辺に $16$ を加えて、 $16$ を方程式の右辺に移動させます。

$81 {(x - 4)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 1289 + 1296 - 16$

ステップ 8

$- 1289 + 1296 - 16$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1289$ と $1296$ をたし算します。

$81 {(x - 4)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 7 - 16$

ステップ 8.2

$7$ から $16$ を引きます。

$81 {(x - 4)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 9$

ステップ 9

方程式の各項の符号を反転させ、右辺の項が正となるようにする。

$- 81 {(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$

ステップ 10

各項を $9$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{81 {(x - 4)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

ステップ 11

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

微分積分学準備 例

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