微分積分学準備例

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 40 x - 32 y = 5$

ステップ 1

方程式の両辺を $4$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$

ステップ 2

$x^{2} + 10 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{1}$

ステップ 2.3.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$d = 5$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{100}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3

$100$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 25$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $25$ をかけます。

$e = 0 - 25$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $25$ を引きます。

$e = - 25$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 5)}^{2} - 25$ に代入します。

${(x + 5)}^{2} - 25$

ステップ 3

${(x + 5)}^{2} - 25$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ の中の $x^{2} + 10 x$ に代入します。

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4}$

ステップ 4

両辺に $25$ を加えて、 $- 25$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4} + 25$

ステップ 5

$y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 5.3.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(y - 4)}^{2} - 16$

ステップ 6

${(y - 4)}^{2} - 16$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ の中の $y^{2} - 8 y$ に代入します。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = \frac{5}{4} + 25$

ステップ 7

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + 25 + 16$

ステップ 8

$\frac{5}{4} + 25 + 16$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母を求めます。

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ステップ 8.1.1

$25$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} + 16$

ステップ 8.1.2

$\frac{25}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

ステップ 8.1.3

$\frac{25}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + 16$

ステップ 8.1.4

$16$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

ステップ 8.1.5

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.1.6

$\frac{16}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 25 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$25$ に $4$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 16 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.3.2

$16$ に $4$ をかけます。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 64}{4}$

ステップ 8.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 8.4.1

$5$ と $100$ をたし算します。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{105 + 64}{4}$

ステップ 8.4.2

$105$ と $64$ をたし算します。

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{169}{4}$

微分積分学準備 例

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