微分積分学準備例

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

ステップ 1

分数の前に負数を移動させます。

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, (t - 4) (t - 8)$

ステップ 2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(t - 4) (t - 8)$

ステップ 3

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ の各項に $(t - 4) (t - 8)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ の各項に $(t - 4) (t - 8)$ を掛けます。

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(t - 4) (t - 8)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.1.2

分配則を当てはめます。

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$t$ に $t$ をかけます。

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 8$ を $t$ の左に移動させます。

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.2.2

$- 8 t$ から $4 t$ を引きます。

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4

簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4.1.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 3.2.4.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.4.3

$32$ を $s t$ の左に移動させます。

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$t$ を移動させます。

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.2.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$(t - 4) (t - 8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $7 t$ を足します。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

ステップ 4.2

$t$ を $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$t$ を $s t^{3}$ で因数分解します。

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

ステップ 4.2.2

$t$ を $- 12 s t^{2}$ で因数分解します。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

ステップ 4.2.3

$t$ を $32 s t$ で因数分解します。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

ステップ 4.2.4

$t$ を $7 t$ で因数分解します。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

ステップ 4.2.5

$t$ を $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ で因数分解します。

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

ステップ 4.2.6

$t$ を $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ で因数分解します。

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

ステップ 4.2.7

$t$ を $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ で因数分解します。

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

ステップ 4.4

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 4.5

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ が $0$ に等しいとします。

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

ステップ 4.5.2

$t$ について $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5.2.2

$a = s$ 、 $b = - 12 s$ 、および $c = 32 s + 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3

簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1.1

括弧を付けます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.2

$u = s \cdot (32 s + 7)$ とします。 $u$ を $s \cdot (32 s + 7)$ に代入します。

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ステップ 4.5.2.3.1.2.1

積の法則を $- 12 s$ に当てはめます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.2.2

$- 12$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.3

$4$ を $144 s^{2} - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.2.3.1.3.1

$4$ を $144 s^{2}$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.3.3

$4$ を $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.4

$u$ のすべての発生を $s \cdot (32 s + 7)$ で置き換えます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5

簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.3

$7$ を $s$ の左に移動させます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.4

指数を足して $s$ に $s$ を掛けます。

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ステップ 4.5.2.3.1.5.1.4.1

$s$ を移動させます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.4.2

$s$ に $s$ をかけます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.5

分配則を当てはめます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.6

$32$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.1.7

$7$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.5.2

$36 s^{2}$ から $32 s^{2}$ を引きます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.6

$s$ を $4 s^{2} - 7 s$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1.6.1

$s$ を $4 s^{2}$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.6.2

$s$ を $- 7 s$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.6.3

$s$ を $s (4 s) + s \cdot - 7$ で因数分解します。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.7

$4 s (4 s - 7)$ を $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.7.3

括弧を付けます。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

ステップ 4.5.2.3.2

$\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ を簡約します。

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

ステップ 4.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$