微分積分学準備例

${(\frac{1}{5})}^{2} + \cos^{2} (t) = 1$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

ステップ 1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

ステップ 1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{25} + \cos^{2} (t) = 1$

ステップ 2

$\cos (t)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{25}$ を引きます。

$\cos^{2} (t) = 1 - \frac{1}{25}$

ステップ 2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\cos^{2} (t) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\cos^{2} (t) = \frac{25 - 1}{25}$

ステップ 2.4

$25$ から $1$ を引きます。

$\cos^{2} (t) = \frac{24}{25}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (t) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{24}{25}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{24}{25}}$ を $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$24$ を $2^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 4.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 6

各解を求め、 $t$ を解きます。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

ステップ 7

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ の $t$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$ の値を求めます。

$t = 0.20135792$

ステップ 7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

ステップ 7.4

$t$ について解きます。

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ステップ 7.4.1

括弧を削除します。

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

ステップ 7.4.2

$2 (3.14159265) - 0.20135792$ を簡約します。

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ステップ 7.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$t = 6.2831853 - 0.20135792$

ステップ 7.4.2.2

$6.2831853$ から $0.20135792$ を引きます。

$t = 6.08182738$

ステップ 7.5

$\cos (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$\cos (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ の $t$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ の値を求めます。

$t = 2.94023473$

ステップ 8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

ステップ 8.4

$t$ について解きます。

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ステップ 8.4.1

括弧を削除します。

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

ステップ 8.4.2

$2 (3.14159265) - 2.94023473$ を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$t = 6.2831853 - 2.94023473$

ステップ 8.4.2.2

$6.2831853$ から $2.94023473$ を引きます。

$t = 3.34295057$

ステップ 8.5

$\cos (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\cos (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

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ステップ 10.1

$3.34295057 + 2 π n$ と $0.20135792 + π n$ を $0.20135792 + 2 π n$ にまとめます。

$t = 0.20135792 + π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$2.94023473 + 2 π n$ と $2.94023473 + π n$ を $6.08182738 + 2 π n$ にまとめます。

$t = 0.20135792 + π n, 2.94023473 + π n$ 、任意の整数 $n$

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