微分積分学準備例

$\tan^{2} (a) - \tan (a) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \tan (a)$ とします。 $u$ を $\tan (a)$ に代入します。

$u^{2} - u = 0$

ステップ 1.2

$u$ を $u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - u = 0$

ステップ 1.2.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (u - 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (a)$ で置き換えます。

$\tan (a) (\tan (a) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (a) = 0$

$\tan (a) - 1 = 0$

ステップ 3

$\tan (a)$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\tan (a)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (a) = 0$

ステップ 3.2

$a$ について $\tan (a) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $a$ を取り出します。

$a = \arctan (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$a = 0$

ステップ 3.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$a = π + 0$

ステップ 3.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$a = π$

ステップ 3.2.5

$\tan (a)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.6

$\tan (a)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$a = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (a) - 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (a) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (a) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$a$ について $\tan (a) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (a) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $a$ を取り出します。

$a = \arctan (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$a = \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$a = π + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 4.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 4.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$a = \frac{5 π}{4}$

ステップ 4.2.6

$\tan (a)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7

$\tan (a)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $\tan (a) (\tan (a) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = π n, π + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$π + π n$ と $π n$ を $π n$ にまとめます。

$a = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$a = π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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