微分積分学準備例

${(x + 5)}^{2} = 24 (y + 1)$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

方程式を $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ として書き換えます。

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$

ステップ 1.1.2

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y + 1$ を $1$ で割ります。

$y + 1 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24} - 1$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

ステップ 1.2

$\frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1.1

${(x + 5)}^{2}$ を $(x + 5) (x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{1}{24} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 1$

ステップ 1.2.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{24} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 1$

ステップ 1.2.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 1$

ステップ 1.2.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

ステップ 1.2.1.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

ステップ 1.2.1.1.3.1.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

ステップ 1.2.1.1.3.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 1$

ステップ 1.2.1.1.3.2

$5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 1$

ステップ 1.2.1.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{24} x^{2} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.1

$\frac{1}{24}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.5.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.2.2

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 \cdot 12} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{12} (5 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.3

$5$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5}{12} x + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.4

$\frac{5}{12}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

ステップ 1.2.1.1.5.5

$\frac{1}{24}$ と $25$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{24}{24}$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24}$

ステップ 1.2.1.3

$- 1$ と $\frac{24}{24}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24}$

ステップ 1.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 1 \cdot 24}{24}$

ステップ 1.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1.5.1

$- 1$ に $24$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 24}{24}$

ステップ 1.2.1.5.2

$25$ から $24$ を引きます。

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24}$

ステップ 1.2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{24}$

$b = \frac{5}{12}$

$c = \frac{1}{24}$

ステップ 1.2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{5}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.4.2.2

$2$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

ステップ 1.2.4.2.3

$2$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

ステップ 1.2.4.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.3.2.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

ステップ 1.2.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

ステップ 1.2.4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

ステップ 1.2.4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{5}{12} (1 \cdot 12)$

ステップ 1.2.4.2.5

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.5.1

$12$ を $1 \cdot 12$ で因数分解します。

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

ステップ 1.2.4.2.5.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

ステップ 1.2.4.2.5.3

式を書き換えます。

$d = 5$

ステップ 1.2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{{(\frac{5}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{5}{12}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.5.2.1.1.3

$12$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4}{24}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 1.2.5.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{1}{6}}$

ステップ 1.2.5.2.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{144} \cdot 6)$

ステップ 1.2.5.2.1.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.5.1

$6$ を $144$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 (24)} \cdot 6)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

ステップ 1.2.5.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{24} - \frac{25}{24}$

ステップ 1.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 - 25}{24}$

ステップ 1.2.5.2.3

$1$ から $25$ を引きます。

$e = \frac{- 24}{24}$

ステップ 1.2.5.2.4

$- 24$ を $24$ で割ります。

$e = - 1$

ステップ 1.2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$ に代入します。

$\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{24}$

$h = - 5$

$k = - 1$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 5, - 1)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 6$

ステップ 5.3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, 5)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 5$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - 7$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 5, - 1)$

焦点： $(- 5, 5)$

対称軸： $x = - 5$

準線： $y = - 7$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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