微分積分学準備例

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 5$

$k = - 5$

$h = 4$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(4, - 5)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + {(5)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + 25}$

ステップ 5.3.3

$9$ と $25$ をたし算します。

$\sqrt{34}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 2)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 8)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(4, - 2), (4, - 8)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 5 + \sqrt{34})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, - 5 - \sqrt{34})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(5)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 5^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 + 25}}{3}$

ステップ 8.3.3

$9$ と $25$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{34}}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{5^{2}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{25}{\sqrt{34}}$ に $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ をかけます。

$\frac{25}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{25}{\sqrt{34}}$ に $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ をかけます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{34}$ を $1$ 乗します。

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{34}$ を $1$ 乗します。

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{25 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{34}}^{2}$ を $34$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{34}$ を $34^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{34^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

ステップ 11.2

$\frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{3}{5}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{3}{5} \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1.4.1

$\frac{3}{5}$ と $- 4$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{3 \cdot - 4}{5} - 5$

ステップ 11.2.1.4.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12}{5} - 5$

ステップ 11.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5$

ステップ 11.2.2

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 11.2.3

$- 5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$- 5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 12 - 25}{5}$

ステップ 11.2.5.2

$- 12$ から $25$ を引きます。

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 37}{5}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$

ステップ 12.2

$- \frac{3}{5} \cdot (x - (4)) - 5$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{3}{5} \cdot (x - 4) - 5$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 4 - 5$

ステップ 12.2.1.4

$- \frac{3}{5} \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.4.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 4 (\frac{3}{5}) - 5$

ステップ 12.2.1.4.2

$4$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{4 \cdot 3}{5} - 5$

ステップ 12.2.1.4.3

$4$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{12}{5} - 5$

ステップ 12.2.1.5

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5$

ステップ 12.2.2

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 12.2.3

$- 5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 5 \cdot 5}{5}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.2.5.1

$- 5$ に $5$ をかけます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{12 - 25}{5}$

ステップ 12.2.5.2

$12$ から $25$ を引きます。

$y = - \frac{3 x}{5} + \frac{- 13}{5}$

ステップ 12.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}, y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(4, - 5)$

頂点： $(4, - 2), (4, - 8)$

焦点： $(4, - 5 + \sqrt{34}), (4, - 5 - \sqrt{34})$

偏心： $\frac{\sqrt{34}}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{25 \sqrt{34}}{34}$

漸近線： $y = \frac{3 x}{5} - \frac{37}{5}$ 、 $y = - \frac{3 x}{5} - \frac{13}{5}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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