微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

ステップ 1

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

ステップ 2.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x^{2} - 2 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 2 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 2.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 2.4.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 2.4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + i$

ステップ 2.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 2.4.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i$

ステップ 2.4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - i$

ステップ 2.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i, 1 - i$

ステップ 2.5

最終解は $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $1$ の重複度）

$x = 1 + i$ （ $1$ の重複度）

$x = 1 - i$ （ $1$ の重複度）

$x = 0$ （ $1$ の重複度）

$x = 1 + i$ （ $1$ の重複度）

$x = 1 - i$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

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