微分積分学準備例

$f (x) = 3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$

ステップ 1

$3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3 x$ を $3 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$3 x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 15 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$3 x$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) - 15 x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$3 x$ を $- 15 x$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x) + 3 x (- 5) = 0$

ステップ 2.1.1.4

$3 x$ を $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4 x)$ で因数分解します。

$3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5) = 0$

ステップ 2.1.1.5

$3 x$ を $3 x (x^{2} - 4 x) + 3 x (- 5)$ で因数分解します。

$3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

$3 x (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0$

$3 x ((x - 5) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

$3 x (x - 5) (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

$x = 5$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 2.6

最終解は $3 x (x - 5) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $1$ の重複度）

$x = 5$ （ $1$ の重複度）

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

$x = 0$ （ $1$ の重複度）

$x = 5$ （ $1$ の重複度）

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$