微分積分学準備例

$f (x) = e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$

ステップ 1

$e^{8 x - 7} - 5^{x - 5}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{8 x - 7} - 5^{x - 5} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

両辺に $- 5^{x - 5}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$e^{8 x - 7} = 5^{x - 5}$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{8 x - 7}) = \ln (5^{x - 5})$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$8 x - 7$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{8 x - 7})$ を展開します。

$(8 x - 7) \ln (e) = \ln (5^{x - 5})$

ステップ 2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(8 x - 7) \cdot 1 = \ln (5^{x - 5})$

ステップ 2.3.3

$8 x - 7$ に $1$ をかけます。

$8 x - 7 = \ln (5^{x - 5})$

ステップ 2.4

$x - 5$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x - 5})$ を展開します。

$8 x - 7 = (x - 5) \ln (5)$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$8 x - 7 = x \ln (5) - 5 \ln (5)$

ステップ 2.6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) = - 8 x + 7$

ステップ 2.7

方程式の両辺に $8 x$ を足します。

$- x \ln (5) + 5 \ln (5) + 8 x = 7$

ステップ 2.8

方程式の両辺から $5 \ln (5)$ を引きます。

$- x \ln (5) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

ステップ 2.9

$x$ を $- x \ln (5) + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.9.1

$x$ を $- x \ln (5)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (5)) + 8 x = 7 - 5 \ln (5)$

ステップ 2.9.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8 = 7 - 5 \ln (5)$

ステップ 2.9.3

$x$ を $x (- 1 \ln (5)) + x \cdot 8$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

ステップ 2.10

$- 1 \ln (5)$ を $- \ln (5)$ に書き換えます。

$x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$

ステップ 2.11

$x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ の各項を $- \ln (5) + 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.11.1

$x (- \ln (5) + 8) = 7 - 5 \ln (5)$ の各項を $- \ln (5) + 8$ で割ります。

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

ステップ 2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$- \ln (5) + 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (- \ln (5) + 8)}{- \ln (5) + 8} = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

ステップ 2.11.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{- \ln (5) + 8} + \frac{- 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

ステップ 2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.11.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

ステップ 2.11.3.2

$- 1$ を $- \ln (5)$ で因数分解します。

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) + 8}$

ステップ 2.11.3.3

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- \ln (5) - 1 (- 8)}$

ステップ 2.11.3.4

$- 1$ を $- \ln (5) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- (\ln (5) - 8)}$

ステップ 2.11.3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 2.11.3.5.1

$- (\ln (5) - 8)$ を $- 1 (\ln (5) - 8)$ に書き換えます。

$x = \frac{7 - 5 \ln (5)}{- 1 (\ln (5) - 8)}$

ステップ 2.11.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$

$x = - \frac{7 - 5 \ln (5)}{\ln (5) - 8}$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例