微分積分学準備例

$x^{3} - x^{2} - x + 1$

ステップ 1

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - x^{2}) - x + 1 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 1) - (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.5

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.5.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.5.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x - 1) (x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

最終解は ${(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 1$ （ $2$ の重複度）

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

$x = 1$ （ $2$ の重複度）

$x = - 1$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例