微分積分学準備例

$x = e^{4 t}$ , $y = e^{- t}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = e^{4 t}$

ステップ 2

方程式を $e^{4 t} = x$ として書き換えます。

$e^{4 t} = x$

ステップ 3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{4 t}) = \ln (x)$

ステップ 4

左辺を展開します。

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ステップ 4.1

$4 t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{4 t})$ を展開します。

$4 t \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$4 t \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 t = \ln (x)$

ステップ 5

$4 t = \ln (x)$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$4 t = \ln (x)$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 t}{4} = \frac{\ln (x)}{4}$

ステップ 5.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{\ln (x)}{4}$

ステップ 6

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$

ステップ 7

$e^{- (\frac{\ln (x)}{4})}$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{\ln (x)}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (x)$ に書き換えます。

$y = e^{- (\frac{1}{4} \ln (x))}$

ステップ 7.2

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (x)$ を簡約します。

$y = e^{- \ln (x^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 7.3

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (x^{\frac{1}{4}})$ を簡約します。

$y = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})}$

ステップ 7.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$y = {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$

ステップ 7.5

${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

ステップ 7.5.2

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = x^{\frac{- 1}{4}}$

ステップ 7.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = x^{- \frac{1}{4}}$

ステップ 7.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

微分積分学準備 例

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