微分積分学準備例

${(3 x + y^{2})}^{5}$

ステップ 1

パスカルの三角形はこのように表すことができます：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

三角形は、指数 $n$ をとり $1$ を足すと ${(a + b)}^{n}$ の展開の係数を計算するために利用することができます。係数は三角形の線 $n + 1$ に対応します。 ${(3 x + y^{2})}^{5}$ に対して $n = 5$ なので、展開の係数は線 $6$ に対応します。

ステップ 2

展開は法則 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ に従います。三角形からの係数の値は $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ です。

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

ステップ 3

$a$ $3 x$ と $b$ $y^{2}$ の実価を式に代入します。

$1 {(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(3 x)}^{5}$ に $1$ をかけます。

${(3 x)}^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.2

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$3^{5} x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.3

$3$ を $5$ 乗します。

$243 x^{5} {(y^{2})}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.4

${(y^{2})}^{0}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} y^{2 \cdot 0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $0$ をかけます。

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.6

$243$ に $1$ をかけます。

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.7

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.8

$3$ を $4$ 乗します。

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.9

$81$ に $5$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(y^{2})}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.10

${(y^{2})}^{1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2 \cdot 1} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 {(3 x)}^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.11

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (3^{3} x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.12

$3$ を $3$ 乗します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 10 (27 x^{3}) {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.13

$27$ に $10$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} {(y^{2})}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.14

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{2 \cdot 2} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 {(3 x)}^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.15

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (3^{2} x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.16

$3$ を $2$ 乗します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 10 (9 x^{2}) {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.17

$9$ に $10$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} {(y^{2})}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.18

${(y^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.18.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{2 \cdot 3} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.18.2

$2$ に $3$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 {(3 x)}^{1} {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.19

簡約します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 5 (3 x) {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.20

$3$ に $5$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x {(y^{2})}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.21

${(y^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{2 \cdot 4} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.21.2

$2$ に $4$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.22

${(3 x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(3 x)}^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.23

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 3^{0} x^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.24

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 x^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.25

$x^{0}$ に $1$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + x^{0} {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.26

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + 1 {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.27

${(y^{2})}^{5}$ に $1$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + {(y^{2})}^{5}$

ステップ 4.28

${(y^{2})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.28.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{2 \cdot 5}$

ステップ 4.28.2

$2$ に $5$ をかけます。

$243 x^{5} + 405 x^{4} y^{2} + 270 x^{3} y^{4} + 90 x^{2} y^{6} + 15 x y^{8} + y^{10}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例