微分積分学準備例

$3 y^{2} - x - 2 y + 1 = 0$

ステップ 1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$3 y^{2} - 2 y + 1 = x$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 y^{2} - 2 y = x - 1$

ステップ 2

平方を完成させます。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 2$

$c = 0 = x - 1$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = x - 1$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{12}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 (1)}{12}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{1}{3}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3}$ に代入します。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} = x - 1$

ステップ 3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 + \frac{1}{3}$

ステップ 3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 3 + 1}{3}$

ステップ 3.5.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x + \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$

ステップ 4

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} = x - \frac{2}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(y - \frac{1}{3})}^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

ステップ 4.2.1.2

${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- \frac{2}{3}}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.1.2

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.3.1.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} - \frac{2}{9}$

ステップ 5

因数分解。

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ステップ 5.1

$\frac{x}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{9}$

ステップ 5.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{x}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2}{9}$

ステップ 5.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3}{9} - \frac{2}{9}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{x \cdot 3 - 2}{9}$

ステップ 5.4

$3$ を $x$ の左に移動させます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{3 x - 2}{9}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

${(y - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9} (3 x - 2)$

微分積分学準備 例

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