微分積分学準備例

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

ステップ 1

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ を方程式で書きます。

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

ステップ 2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

ステップ 3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\frac{- 2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot - 2$

ステップ 4.3.2.2

$- 1 \cdot - 2$ を $- - 2$ に書き換えます。

$d = - - 2$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$d = 2$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.6

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 4.4.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 4.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - - 4$

ステップ 4.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 0 + 4$

ステップ 4.4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$e = 4$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 2)}^{2} + 4$ に代入します。

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

ステップ 5

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

ステップ 5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

ステップ 6

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.2.2

${(x + 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{y}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.1.2

$- 1 \cdot y$ を $- y$ に書き換えます。

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

ステップ 7.2

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$

微分積分学準備 例

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