微分積分学準備例

$f (x) = {(2 x^{3} + 3)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 x^{3} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{3} + 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{3} + 3$ で置き換えます。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2} + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$4 {(2 x^{3} + 3)}^{3} (6 x^{2})$

ステップ 2.6.2

$6$ に $4$ をかけます。

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

ステップ 2.6.3

$24 {(2 x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$24 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{3}$

微分積分学準備 例