微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{- 2 x^{2} + 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- 2 x^{2} + 1}$ を ${(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- 2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $- 2 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 11

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x + 0)$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- 4 x)$

ステップ 13.2

$- 4$ と $\frac{1}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 13.3

$\frac{- 4}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 4 x}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.4

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 ({(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x)}{2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分学準備 例

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