微分積分学準備例

$f (x) = \arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arcsin (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(1 - x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 11

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 13

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- (2 x))$

ステップ 16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} (- 2 x)$

ステップ 16.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}} x$

ステップ 16.3

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

ステップ 16.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

ステップ 17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

ステップ 17.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})})}$

ステップ 17.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

ステップ 18

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (1 - x^{2})}}$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 1 - - x^{2}}}$

ステップ 19.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 - - x^{2}}}$

ステップ 19.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + 1 x^{2}}}$

ステップ 19.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 + x^{2}}}$

ステップ 19.2.4

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{0 + x^{2}}}$

ステップ 19.2.5

$0$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2}}}$

ステップ 19.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.2.7

共通因数を約分します。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.2.8

式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例