微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.10

$- 4$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.12

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

$2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.13.3

式を書き換えます。

$2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 3.2

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例