微分積分学準備例

$x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + {(- 1)}^{1 + 3} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$1 + {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 + 2 - 4 \cdot - 1 - 8$

ステップ 4.1.6

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 + 2 + 4 - 8$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 + 2 + 4 - 8$

ステップ 4.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 + 4 - 8$

ステップ 4.2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 4.2.4

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$
	$1$	$- 2$

ステップ 6.5

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$
	$1$	$- 2$	$4$

ステップ 6.7

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

ステップ 6.9

結果 $(- 8)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$- 1$	$2$	$- 4$	$8$
	$1$	$- 2$	$4$	$- 8$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 2 x^{2} + (4) x - 8$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2}) + 4 x - 8$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) + x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

$(x + 1) x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2)$

ステップ 8

最大公約数 $x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 4)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$- x^{3} + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 9.2

$- x^{2}$ を $- x^{3} + 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$- x^{2}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{2} x + 2 x^{2} + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 9.2.2

$- x^{2}$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$- x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 9.2.3

$- x^{2}$ を $- x^{2} (x) - x^{2} (- 2)$ で因数分解します。

$- x^{2} (x - 2) + x^{4} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 9.3

有理根検定を用いて $x^{4} - 4 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 9.3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 9.3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 9.3.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 9.3.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{4} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 9.3.3.2

$2$ を $4$ 乗します。

$16 - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 9.3.3.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$16 - 8 - 8$

ステップ 9.3.3.4

$16$ から $8$ を引きます。

$8 - 8$

ステップ 9.3.3.5

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 9.3.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 4 x - 8}{x - 2}$

ステップ 9.3.5

$x^{4} - 4 x - 8$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 9.3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

ステップ 9.3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 2 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

ステップ 9.3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

ステップ 9.3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 9.3.5.7

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 9.3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

ステップ 9.3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

ステップ 9.3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

ステップ 9.3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

ステップ 9.3.5.12

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

ステップ 9.3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

ステップ 9.3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} - 8 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

ステップ 9.3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

ステップ 9.3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.17

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

ステップ 9.3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

ステップ 9.3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 9.3.6

$x^{4} - 4 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 9.4

$x - 2$ を $- x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ で因数分解します。

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ステップ 9.4.1

$x - 2$ を $- x^{2} (x - 2)$ で因数分解します。

$(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 9.4.2

$x - 2$ を $(x - 2) (- x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4)$ で因数分解します。

$(x - 2) (- x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 9.5

$- x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$(x - 2) (x^{3} + x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 9.6

因数分解。

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ステップ 9.6.1

因数分解した形で $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ を書き換えます。

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ステップ 9.6.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.6.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 2) ((x^{3} + x^{2}) + 4 x + 4) = 0$

ステップ 9.6.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 2) (x^{2} (x + 1) + 4 (x + 1)) = 0$

ステップ 9.6.1.2

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} + 4)) = 0$

ステップ 9.6.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 13

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 13.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 13.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 13.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 13.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 13.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 13.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 13.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 13.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 13.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 13.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 14

最終解は $(x - 2) (x + 1) (x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1, 2 i, - 2 i$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例