微分積分学準備例

$y = 2 e^{x - 2}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 2 e^{y - 2}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $2 e^{y - 2} = x$ として書き換えます。

$2 e^{y - 2} = x$

ステップ 2.2

$2 e^{y - 2} = x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 e^{y - 2} = x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$e^{y - 2}$ を $1$ で割ります。

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.4.1

$y - 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 2})$ を展開します。

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

ステップ 2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

ステップ 2.4.3

$y - 2$ に $1$ をかけます。

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

ステップ 2.5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ が $f (x) = 2 e^{x - 2}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

ステップ 4.2.3.1.2

$e^{x - 2}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

ステップ 4.2.3.2

対数の法則を利用して指数の外に $x - 2$ を移動します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

ステップ 4.2.3.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

ステップ 4.2.3.4

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

ステップ 4.2.4

$x - 2 + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ の値を求めます。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

ステップ 4.3.3

$(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

ステップ 4.3.3.2

$\ln (\frac{x}{2})$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 4.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ は $f (x) = 2 e^{x - 2}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

微分積分学準備 例

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