微分積分学準備例

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5 = 0$

ステップ 1

有理根検定を用いて $11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 11$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{09}, \pm 5, \pm 0.\overline{45}$

ステップ 1.3

$0.\overline{45}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{45}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0.\overline{45}$ を多項式に代入します。

$11 \cdot {0.\overline{45}}^{3} + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.2

$0.\overline{45}$ を $3$ 乗します。

$11 \cdot 0.09391435 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.3

$11$ に $0.09391435$ をかけます。

$1.03305785 + 17 \cdot {0.\overline{45}}^{2} - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.4

$0.\overline{45}$ を $2$ 乗します。

$1.03305785 + 17 \cdot 0.20661157 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.5

$17$ に $0.20661157$ をかけます。

$1.03305785 + 3.51239669 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.6

$1.03305785$ と $3.51239669$ をたし算します。

$4.54545454 - 21 \cdot 0.\overline{45} + 5$

ステップ 1.3.7

$- 21$ に $0.\overline{45}$ をかけます。

$4.54545454 - 9.\overline{54} + 5$

ステップ 1.3.8

$4.54545454$ から $9.\overline{54}$ を引きます。

$- 5 + 5$

ステップ 1.3.9

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$0.\overline{45}$ は既知の根なので、多項式を $11 x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5}{11 x - 5}$

ステップ 1.5

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ を $11 x - 5$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$11 x$

$5$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$5$

ステップ 1.5.2

被除数 $11 x^{3}$ の最高次項を除数 $11 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			+	$11 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $11 x^{3} - 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $22 x^{2}$ の最高次項を除数 $11 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$10 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $22 x^{2} - 10 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 11 x$ の最高次項を除数 $11 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							-	$11 x$	+	$5$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 11 x + 5$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$11 x$	-	$5$		$11 x^{3}$	+	$17 x^{2}$	-	$21 x$	+	$5$
			-	$11 x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$22 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$11 x$	+	$5$
							+	$11 x$	-	$5$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x - 1$

ステップ 1.6

$11 x^{3} + 17 x^{2} - 21 x + 5$ を因数の集合として書き換えます。

$(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$11 x - 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

ステップ 3

$11 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$11 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$11 x - 5 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $11 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$11 x = 5$

ステップ 3.2.2

$11 x = 5$ の各項を $11$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$11 x = 5$ の各項を $11$ で割ります。

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 x}{11} = \frac{5}{11}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{11}$

ステップ 4

$x^{2} + 2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2} + 2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + \sqrt{2}$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 5

最終解は $(11 x - 5) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{5}{11}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 0.\overline{45}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例