微分積分学準備例

$x^{5} = 25 x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺から $25 x^{3}$ を引きます。

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{3}$ を $x^{5} - 25 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{3}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{3}$ を $- 25 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ で因数分解します。

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

ステップ 2.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 2.3

因数分解。

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ステップ 2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 2.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7

最終解は $x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 5, 5$

微分積分学準備 例

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