微分積分学準備例

$g (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18$

ステップ 1

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

ステップ 2

$x = 2$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 2.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 2.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$
	$1$

ステップ 2.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$
	$1$	$8$

ステップ 2.5

結果 $(8)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(16)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$
	$1$	$8$

ステップ 2.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$
	$1$	$8$	$13$

ステップ 2.7

結果 $(13)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(26)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$	$26$
	$1$	$8$	$13$

ステップ 2.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$2$	$16$	$26$
	$1$	$8$	$13$	$8$

ステップ 2.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 8 x + 13 + \frac{8}{x - 2}$

ステップ 2.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 8 x + 13 + \frac{8}{x - 2}$

ステップ 3

$2 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $2$ は関数の実根の上界です。

上界： $2$

ステップ 4

$x = 3$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 3}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 4.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 4.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$
	$1$

ステップ 4.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$
	$1$	$9$

ステップ 4.5

結果 $(9)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(27)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$
	$1$	$9$

ステップ 4.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$
	$1$	$9$	$24$

ステップ 4.7

結果 $(24)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(72)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$	$72$
	$1$	$9$	$24$

ステップ 4.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$3$	$27$	$72$
	$1$	$9$	$24$	$54$

ステップ 4.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 9 x + 24 + \frac{54}{x - 3}$

ステップ 4.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 9 x + 24 + \frac{54}{x - 3}$

ステップ 5

$3 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $3$ は関数の実根の上界です。

上界： $3$

ステップ 6

$x = 6$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$
	$1$	$12$

ステップ 6.5

結果 $(12)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(72)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$
	$1$	$12$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$
	$1$	$12$	$69$

ステップ 6.7

結果 $(69)$ の最新の項目に除数 $(6)$ を掛け、 $(414)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$	$414$
	$1$	$12$	$69$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$6$	$72$	$414$
	$1$	$12$	$69$	$396$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 12 x + 69 + \frac{396}{x - 6}$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 12 x + 69 + \frac{396}{x - 6}$

ステップ 7

$6 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $6$ は関数の実根の上界です。

上界： $6$

ステップ 8

$x = - 6$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 6}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 8.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 8.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$
	$1$

ステップ 8.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$
	$1$	$0$

ステップ 8.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$
	$1$	$0$

ステップ 8.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$
	$1$	$0$	$- 3$

ステップ 8.7

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 6)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$	$18$
	$1$	$0$	$- 3$

ステップ 8.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 6$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 6$	$0$	$18$
	$1$	$0$	$- 3$	$0$

ステップ 8.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 0 x - 3$

ステップ 8.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 3$

ステップ 9

$- 6 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 6$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 6$

ステップ 10

$x = 9$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 9}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 10.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 10.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(9)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$
	$1$

ステップ 10.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$
	$1$	$15$

ステップ 10.5

結果 $(15)$ の最新の項目に除数 $(9)$ を掛け、 $(135)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$
	$1$	$15$

ステップ 10.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$
	$1$	$15$	$132$

ステップ 10.7

結果 $(132)$ の最新の項目に除数 $(9)$ を掛け、 $(1188)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$	$1188$
	$1$	$15$	$132$

ステップ 10.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$9$	$135$	$1188$
	$1$	$15$	$132$	$1170$

ステップ 10.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 15 x + 132 + \frac{1170}{x - 9}$

ステップ 10.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 15 x + 132 + \frac{1170}{x - 9}$

ステップ 11

$9 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $9$ は関数の実根の上界です。

上界： $9$

ステップ 12

$x = - 9$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 9}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 12.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 12.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 9)$ を掛け、 $(- 9)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$
	$1$

ステップ 12.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$
	$1$	$- 3$

ステップ 12.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 9)$ を掛け、 $(27)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$
	$1$	$- 3$

ステップ 12.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$
	$1$	$- 3$	$24$

ステップ 12.7

結果 $(24)$ の最新の項目に除数 $(- 9)$ を掛け、 $(- 216)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$	$- 216$
	$1$	$- 3$	$24$

ステップ 12.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 9$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 9$	$27$	$- 216$
	$1$	$- 3$	$24$	$- 234$

ステップ 12.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 3 x + 24 + \frac{- 234}{x + 9}$

ステップ 12.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 3 x + 24 - \frac{234}{x + 9}$

ステップ 13

$- 9 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 9$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 9$

ステップ 14

$x = 18$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x - 18}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 14.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 14.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(18)$ を掛け、 $(18)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$
	$1$

ステップ 14.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$
	$1$	$24$

ステップ 14.5

結果 $(24)$ の最新の項目に除数 $(18)$ を掛け、 $(432)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$
	$1$	$24$

ステップ 14.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$
	$1$	$24$	$429$

ステップ 14.7

結果 $(429)$ の最新の項目に除数 $(18)$ を掛け、 $(7722)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$	$7722$
	$1$	$24$	$429$

ステップ 14.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$18$	$432$	$7722$
	$1$	$24$	$429$	$7704$

ステップ 14.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 24 x + 429 + \frac{7704}{x - 18}$

ステップ 14.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 24 x + 429 + \frac{7704}{x - 18}$

ステップ 15

$18 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $18$ は関数の実根の上界です。

上界： $18$

ステップ 16

$x = - 18$ のとき、組立除法を $\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 18}{x + 18}$ に当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

ステップ 16.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$

	$1$

ステップ 16.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 18)$ を掛け、 $(- 18)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$
	$1$

ステップ 16.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$
	$1$	$- 12$

ステップ 16.5

結果 $(- 12)$ の最新の項目に除数 $(- 18)$ を掛け、 $(216)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$
	$1$	$- 12$

ステップ 16.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$
	$1$	$- 12$	$213$

ステップ 16.7

結果 $(213)$ の最新の項目に除数 $(- 18)$ を掛け、 $(- 3834)$ の結果を被除数 $(- 18)$ の隣の項の下に置きます。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$	$- 3834$
	$1$	$- 12$	$213$

ステップ 16.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 18$	$1$	$6$	$- 3$	$- 18$
		$- 18$	$216$	$- 3834$
	$1$	$- 12$	$213$	$- 3852$

ステップ 16.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 12 x + 213 + \frac{- 3852}{x + 18}$

ステップ 16.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 12 x + 213 - \frac{3852}{x + 18}$

ステップ 17

$- 18 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 18$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 18$

ステップ 18

上界と下界を判定します。

上界： $2, 3, 6, 9, 18$

下界： $- 6, - 9, - 18$

ステップ 19

微分積分学準備 例

微分積分学準備例