微分積分学準備例

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 4, x = 0, x = 1$

ステップ 2

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $1$ 、 $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $1$ としているので、 $x = 1$ は垂直漸近線です。

$x = 1$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 4$

$m = 3$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 16 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.1.1.2

$x^{2}$ を $- 16 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.1.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 16)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ を $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.1.2.1.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x}$

ステップ 6.1.2.1.3

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4}$

ステップ 6.1.2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4}$

ステップ 6.1.2.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x - 4)}$

ステップ 6.1.2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 6.1.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x ((x - 1) (x + 4))}$

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1.1

$x$ を $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x (x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1.2.1

$x$ を $x (x - 1) (x + 4)$ で因数分解します。

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

ステップ 6.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

ステップ 6.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x (x + 4)) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3.2

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{(x) (x - 4)}{x - 1}$

$\frac{x (x - 4)}{x - 1}$

ステップ 6.2

$x (x - 4)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1}$

ステップ 6.2.2

$x$ と $- 4$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

ステップ 6.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

ステップ 6.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

ステップ 6.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} - 4 x}{x - 1}$

ステップ 6.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1}$

ステップ 6.3

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

ステップ 6.4

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

ステップ 6.5

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 6.6

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 6.7

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$

ステップ 6.8

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

ステップ 6.9

被除数 $- 3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

ステップ 6.10

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	+	$3$

ステップ 6.11

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x + 3$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$

ステップ 6.12

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

ステップ 6.13

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 3 - \frac{3}{x - 1}$

ステップ 6.14

解を多項式の部分と余りに分割します。

$x - 3 + \frac{- 3 x^{2} - 12 x}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

ステップ 6.15

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 3$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 1$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 3$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例