微分積分学準備例

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ) = \sec^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\sec (θ)$ を書き換えます。

$1 + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cdot \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (θ)}$ に当てはめます。

$1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cdot \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ と $\sin^{2} (θ)$ をまとめます。

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (θ)$ です。

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ を $\sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\sec^{2} (θ)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 + \sec^{2} (θ) \cdot \sin^{2} (θ) = \sec^{2} (θ)$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例